Der Schweredruck in Gasen

Wenn man in Verschiedenen Höhen über dem Erdboden den Luftdruck misst, so bemerkt man, dass er mit steigender Höhe fällt. Der Grund ist der Schweredruck, der ja auch schon von den Flüssigkeiten her bekannt ist, also, dass die oberen Schichten mit ihrem Gewicht auf den unteren lasten und so einen Druck ausüben. Allerdings unterscheidet sich der Schweredruck bei Gasen entscheidend von dem der Flüssigkeiten: Während sich Flüssigkeiten nicht komprimieren lassen und man das Gewicht der oberen Lagen einfach anhand von Volumen und Wichte errechnen kann, verhalten sich die Dinge bei den Gasen anders: Der von oben ausgeübte Druck führt nach Boyle-Mariotte zu einer Volumenverringerung des Gases, was wiederum dazu führt, dass sich seine Dichte und Wichte stetig verändern. Genau gilt für die Druckänderung durch Höhenänderung:

Der Druck p in der Höhe h über einem Punkt in dem der Druck p0 beträgt:
p = p0 * e^(-3 * g * h / v^2)
bzw.
p = p0 * e^(- ρ0 * g * h / p0)

Dabei bedeutet e die irrationale Eulersche Zahl, v^2 das mittlere Geschwindigkeitsquadrat der Gasteilchen (temperaturabhängig) und ρ0 die Dichte des Gases im Punkt 0.


Die folgende Herleitung dieser Formel ist recht anspruchsvoll und erfordert Kenntnis vom Lösen von Differenzialgleichungen. Es ist nicht unbedingt notwendig sie nachzuvollziehen.
Man stellt sich zunächst eine Gassäule vor. Aus der dieser Gassäule denke man sich nun in der Höhe h über dem Ausgangspunkt eine Schicht der Dicke Δh isoliert. Da sich das Gas in dieser Schicht aufhält, muss ein Kräftegleichgewicht vorliegen, denn sonst würde die Schicht sich verschieben.

Es wirken drei Kräfte, zwei nach unten und eine nach oben. Herab wird die Gasschicht einerseits durch ihre eigene Gewichtskraft gezogen:

Fg = mg

Die Masse ersetzt man nun durch das Produkt von Teilchenzahldichte n, Volumen V der Schicht und die Masse m0 eines Teilchens:

Fg = n * V *m0 * g

Das Volumen V der Schicht ist Δh * A, wobei A die Grundfläche der Säule ist.

Fg = n * m0 * g * A * Δh

Weiterhin lastet auf der Schicht noch der Gasdruck von oben Fp2 und von unten Fp1. Aus dem Gesetz von Boyle-Mariotte folgt, dass sie

Fp1 = 1/3 * n1 *A * m0 * v^2
bzw.
Fp2 = 1/3 * n2 *A * m0 * v^2

betragt. Dabei sind n1 bzw. n2 die Teichenzahldichte der genau darunter bzw. darüber liegenden Schicht. Da nun Kräftegleichgewicht herrschen soll gilt:

Fg + Fp2 = Fp1
n * m * g * A* Δh + 1/3 * n2 * A * m0 * v^2 = 1/3 * n1 * A * m0 * v^2
n * g * Δh = 1/3 * v^2 * (n1 – n2)

Nun ist (n2 – n1) = Δn und also ist (n1 – n2) = -Δn. Durch einsetzten und umstellen ergibt sich:

Δn/Δh = 3 * g * n / font style="text-decoration: overline">v^2

Um jetzt einen genauen Wert zu erhalten lässt man die Schichtdicke Δh gegen Null streben. Logischerweise wird dann auch Δn immer kleiner, da n1 und n1 sich ja auch immer näher kommen. Somit werden aus den Differenzen Δn und Δh die Differentiale dn und dh:

dn/dh = 3 * g * n / v^2

dn/dh ist ein Differenzialquotient und somit auch eine Ableitung, nämlich die von n, also n'.

Zer besseren Übersicht ist es nun sinnvoll, deutlich zu machen , dass n von h abhängt, indem man n(h) und n'(h) schreibt:

n'(h) = 3 * g * n(h) / v^2
n'(h) / n(h) = 3 * g / v^2

Das aber ist eine Differenzialgleichung. Durch Aufleitung bzw. allgemeine Integration beider Seiten ergibt sich:

ln(n(h) = (3 * g / v^2) * h + const.

Potenziert man e mit beiden Seiten erhält man:

n(h) = e^(3 * g * h / v^2 + const.)
n(h) = e^(3 * g * h / v^2) * e^const.
n(h) = e^(3 * g * h / v^2) * const.

Durch Überlegung wird einsichtig, dass die Konstante n0, also der Teilchenzahldicht im Nullpunkt, entspricht:

n = e^(3 * g * h / v^2) * n0

Nach Boyle-Mariotte sind Teilchnezahldichte n, Dichte ρ und Druck p bei konstanter Temperatur konstant. Also gilt auch:

ρ = e^(3 * g * h / v^2) * ρ 0
p = e^(3 * g * h / v^2) * p 0
Q.E.D.

Nutz man dass

p/ ρ = p0 = ρ0 = v^2 / 3

(wegen Boyle-Mariotte), so ergib sich dann:

p = e^(- ρ0 * g * h / p0) * p0
Q.E.D.

Grob verallgemeinernd kann man sagen, dass der Luftdruck auf der Erde alle 5km Höhenunterschied ca. auf die Hälfte abnimmt.