Das Boyle-Mariotte-Gesetz für Gase

Der von den Flüssigkeiten bekannte Stempeldruck lässt sich nicht ohne weiteres auf den Druck in Gasen übertragen. Während Flüssigkeiten sich auch unter hohem Druck nur vernachlässigbar komprimieren lassen, ist das Volumen von Gasen durch Druck recht leicht zu verändern.
Durch Druckmessungen im Kolbenprober fanden R. Boyle und E. Mariotte im 17. Jh. heraus, dass das Produkt von Druck und Volumen immer konstant war.

So ergibt sich folgendes Gesetz:

Boyle-Mariotte-Gesetz:

Das Produkt aus dem Druck und dem Volumen einer abgeschlossenen Gasmenge ist bei konstanter Temperatur konstant:

p * V = const.
p1 * V1 = p2 * V2 = p3 * V3 = const.


Dies ist der Grund dafür, dass pneumatische Geräte, die Pendants für Hydrauliken bei Gasen, andere Eigenschaften haben als diese. Während eine Hydraulik praktisch sofort die gesamte Kraft weitergibt, kann sich bei einer Pneumatik durchaus erst ein Druck aufbauen, bevor die eingegebene Kraft Arbeit verrichtet, die nicht zum Zusammenpressen des Gases genutzt wird.

Auch die Modellvorstellung des Drucks in Gasen unterscheidet sich von der in Flüssigkeiten: Bei Flüssigkeiten liegen die Teilchen direkt nebeneinander, hier wird Kraft durch direkten Kontakt übertragen.
Man muss sich die Atome bzw. Moleküle eines Gases hingegen als sich frei voneinander, ungeordnet umherbewegend vorstellen. Druck entsteht nun, wenn sie gegen die Gefäßwand schlagen. Verringert man das Volumen, so sind mehr Teilchen auf gleichem Raum , so dass die Wahrscheinlichkeit dieser Einschläge steigt.

Der Zahlenwert des konstanten Produkts p * V beträgt:

p * V = 1/3 * m0 * v^2

Dabei entspricht m0 der Masse eines einzelnen Gasteilchen, also eines Atoms oder Moleküls, und v^2 der Durchschnitt (arithmetisches Mittel) der Quadrate der Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen des Gases. Durch Einsetzten der kinetischen Energie der einzelnen Teilchen ergibt sich weiter:

p* V = 2/3 * N * Wk

Hier ist N die Gesamtanzahl der Teilchen im Volumen V und Wk die mittlere kinetische Energie der Teilchen. Beides ist bei gleich bleibender Temperatur konstant.

Diese zwei Formeln lassen sich nicht nur durch Messungen finden, sondern erschließen sich auch direkt durch mathematische Überlegungen. Dieser im Folgenden beschriebene deduktive Weg ist allerdings etwas komplizierter. Ihn zu verstehen ist zum Verständnis der Aerodynamik nicht unbedingt erforderlich.

Man stellt sich ein Gas, das aus vielen frei beweglichen Teilchen besteht, vor, das sich in einem würfelförmigen Gefäß befindet. Alle Teilchen haben in Betrag und Richtung unterschiedliche Geschwindigkeiten. Druck entsteht, wenn sie gegen die Gefäßwände schlagen und von dort abprallen. Da der Würfel sechs Seiten hat, teilt man den Geschwindigkeitsvektor der einzelnen Teilchen in sechs Komponenten, die jeweils senkrecht zu den Würfelflächen stehen (positive und negative x-, y-, und z-Achse). Folglich muss ein Sechstel der Teilchen auf jede Fläche treffen. Nun betrachtet man eine einzelne Fläche und untersucht den Druck, den die Teilchenstöße hier verursachen.

Der Druck auf die hervorgehobene Seite wird allein durch die in positiver x-Richtung fliegenden Teilchen hervorgerufen. Diese haben Unterschiedliche Geschwindigkeiten vx1, vx2, vx3, usw. Diese Teilchen liegen auch mit unterschiedlicher Teilchenzahldichte n1, n2, n3, usw. vor. Das ist der Quotient von der Anzahl der Teilchen N und dem Volumen V in dem sie sich befinden.

n = N / V

In einem bestimmten Zeitraum Δt stoßen jetzt aber nur die Teilchen an die Wand, deren Abstand höchstens

x1 = vx1 * Δt
x2 = vx2 * Δt
x3 = vx3 * Δt
usw.

beträgt, da dies ja die Strecke ist, die sie mit ihrer Geschwindigkeit in Δt zurücklegen können.



Folglich befinden sich alle diese Teilchen in dem Raum über der Fläche A, der Würfelfläche, der genau x hoch ist, also das Volumen

V1 = A * vx1 * Δt
V2 = A * vx2 * Δt
V3 = A * vx3 * Δt
usw.

hat. Multipliziert man dieses Volumen V mit der Teilchenzahldichte n, so erhält man die jeweilige absolute Anzahl z der Teilchen:

z1 = n1 * A * vx1 * Δt
z2 = n2 * A * vx2 * Δt
z3 = n3 * A * vx3 * Δt
usw.

Bei einem senkrechten Stoß gegen die Würfelwand werden die Teilchen nun elastisch reflektiert. Zurück bewegen sie sich also in vom Betrag her gleicher Geschwindigkeit aber in entgegengesetzter Richtung. Da die Masse m0 aller Teilchen gleich groß ist, Ändert sich ihr Impuls p von m0v zu -m0v. Die Impulsänderung Δp eines Teilchens ist folglich 2m0v. Für z Teilchen gilt dann:

Δp1 = z1 * 2 * m0 * vx1 = n1 * A * vx1 * Δt * 2 * m0 * vx1 = 2 * n1 * m0 * A * vx1^2 * Δt
Δp2 = z2 * 2 * m0 * vx2 = n2 * A * vx2 * Δt * 2 * m0 * vx2 = 2 * n2 * m0 * A * vx2^2 * Δt
Δp3 = z3 * 2 * m0 * vx3 = n3 * A * vx3 * Δt * 2 * m0 * vx3 = 2 * n3 * A * m0 * vx3^2 * Δt
usw.

Nun lässt sich anhand der Impulsänderung Δp und des Zeitintervalls Δt die wirkende Kraft berechen, die der Quotient der beiden ist. Es gilt:

F1 = Δp1 / Δt = 2 * n1 * A * m0 * vx1^2
F2 = Δp2 / Δt = 2 * n2 * A * m0 * vx2^2
F3 = Δp3 / Δt = 2 * n3 * A * m0 * vx3^2
usw.

Die Summe aller dieser Kräfte ist dann:

F = F1 + F1 + F1 + … = Σ F = 2 * A * m0 * (n1 * vx1^2 + n2 * vx2^2 + n3 * vx3^2 + …)

Die einzelnen Geschwindigkeitsquadrate ersetzt man nun durch das mittlere Geschwindigkeitsquadrat v^2 das folgendermaßen definiert ist:

v^2 = (N1
*v1 + N1*v1 + N1*v1 + …) / N = (Σ (Ni * vi)) / N

Wobei N1 die Anzahl der Teilchen der Geschwindigkeit v1 ist und N die Gesamtzahl der Teilchen. Wenn man dies nun einsetzt und gleichzeitig berücksichtigt, dass aufgrund obiger Überlegungen nur ein Sechstel der Teilchen in die richtige Richtung fliegt, dann erhält man:

F = 2 * A * m0 * 1 / 6 * nGesamt * v^2 = 1 / 3 * A * m0 * nGesamt * v^2

Hier ist nGesamt nicht mehr die Teilchendichte für bestimmte Teilchen, sondern die allgemeine für Gasteilchen. Da der Druck p der Quotient von Kraft F unf Fläche A ist gilt weiterhin:

p = 1 / 3 * A * m0 * nGesamt * v^2 / A = 1 / 3 * m0 * nGesamt * v^2

Berücksichtigt man weiter, dass

m = n * m0 * V
m / V = n * m0

, wobei m hier die Gesamtmasse aller Teilchen ist, so erhält man:

p = 1/3 * m * v^2 / V
p * V = 1/3 * v^2
Q.E.D.

Für die durchschnittliche kinetische Energie eines Einzelnen Teilchens gilt:

Wk = 1/2 * m0 * v^2

Außerdem ist

m = N * m0 .

Dabei ist N die absolute Gesamtanzahl der Teilchen im Gas. Kombiniert man diese formeln ist das Ergebnis.

p* V = 2/3 * N * Wk
Q.E.D.